Dans le monde des probabilités, une variable aléatoire n'est pas un espace réservé pour un nombre inconnu comme en algèbre. En fait, pensez-y comme à un traducteur formel. C'est une fonction réelle $X: S \rightarrow \mathbb{R}$ qui associe chaque résultat qualitatif d'une expérience (comme « tirer une boule blanche ») à une valeur numérique quantitative (comme « -1 dollar »).
La logique de l'application
En utilisant les variables aléatoires, nous cessons de parler de collections d'issues abstraites et commençons à décrire les événements en termes de nombres. Par exemple, si on lance une pièce trois fois, au lieu de considérer l'ensemble $\{HHT, HTH, THH\}$, nous définissons $X$ comme « le nombre de piles » et analysons simplement l'événement $X=2$.
Une variable aléatoire est discrète si son ensemble de valeurs est fini ou infini dénombrable (comme les entiers). Cette distinction est essentielle car elle nous permet d'utiliser la sommation ($∑$) plutôt que l'intégration pour calculer les probabilités totales.
La fonction de masse de probabilité (PMF)
La PMF, notée $p(a)$, représente la probabilité qu'une variable aléatoire discrète prenne une valeur spécifique $a$. Elle doit satisfaire deux axiomes fondamentaux :
- $p(x_i) \geq 0$ (Pas de probabilités négatives).
- $\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1$ (La masse totale de probabilité doit couvrir toutes les issues possibles).
Exemple traité : Le paradoxe de l'urne
Considérons une urne contenant 8 boules blanches, 4 noires et 2 oranges. Nous tirons une boule et définissons $X$ comme notre gain : nous gagnons 2 $ pour une noire, mais perdons 1 $ pour une blanche. La PMF transforme l'action de « tirer une boule » en une répartition financière, nous permettant de calculer la probabilité de faire faillite contre celle de rester à l'équilibre.
Si $p(i) = c\lambda^i/i!$ pour $i=0, 1, 2, \dots$, nous trouvons d'abord $c$ en garantissant que la somme vaut 1. En utilisant le développement en série de Taylor de $e^\lambda$, nous obtenons $c = e^{-\lambda}$. Ensuite, $P\{X=0\} = e^{-\lambda}$ et $P\{X>2\} = 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda + \lambda^2/2)$.